田口健太のページ/単位系

2019 年 5 月 20 日施行の SI 単位系の改正

• 参考文献
  • Information for users about the redefinition of the SI
  • The CODATA 2017 values of h, e, k, and N_A for the revision of the SI
  • 計量単位令の一部を改正する政令 (経済産業省)
• プランク定数 h, 電気素量 e, ボルツマン定数 k, アボガドロ定数 N_A を定義値 (すなわち測定値ではなく、誤差を含まない値) とする改正
  • キログラム原器が引退
  • 真空の透磁率 μ₀ = 4π×10^-7 N⋅A^-2 は定義値ではなくなった
  • 温度はエネルギーから定めるようになった
  • ¹²C のモル質量 12 g/mol というのが定義値ではなくなり、モルの定義は質量から独立するように

現行 SI による物理定数

• h = 6.62607×10^-34 J⋅s
• e = 1.602176634×10^-19 C
• k_B = 1.380649×10^-23 J/K
• N_A = 6.02214076×10²³ /mol
• c = 2.99792458×10⁸ m/s

• Δν(¹³³Cs)_{hyperfine structure} = 9.192631770×10⁹ Hz
• K_cd = 683 lm/W

旧 SI で定義値だったもの

• μ₀ ≈ 4π×10^-7 N⋅A^-2
  • これから ε₀ = 8.8541878128×10^-12 C² N^-1 m^-2 が得られる(次元は Coulomb の法則から分かる)。
• T_{水の3重点} = 273.16 K

電磁気学の単位系

SI 単位系での電磁気学

• Coulomb の法則: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$
• Lorentz 力: $\boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$
• 荷電粒子のLagrangian: $L = \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^2 + q\boldsymbol{A}\cdot\dot{\boldsymbol{x}} - q\phi$
• 電磁ポテンシャル: \begin{align} \boldsymbol{E} &= -\text{grad}\phi - \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} \\ \boldsymbol{B} &= \text{rot}\boldsymbol{A} \end{align}
• Maxwell 方程式: \begin{gather} \text{div}\boldsymbol{D} = \rho \\ \text{rot}\boldsymbol{H} - \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} = \boldsymbol{j} \\ \text{div}\boldsymbol{B} = 0 \\ \text{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}= \boldsymbol{0} \end{gather}
• 構成方程式: \begin{align} \boldsymbol{D} &= \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \\ \boldsymbol{B} &= \mu_0(\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}) \end{align} (注: $\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}$ で磁化 $\boldsymbol{M}$ を定義することもある)
• 真空における光速: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=2.99792458×10^8$ m/s
  • 真空の透磁率: μ₀ = 4π×10^-7 N⋅A^-2 = 1.25663706212(19) ×10^-6 N⋅A^-2
  • 真空の誘電率: $\varepsilon_0 \equiv\frac{1}{\mu_0c^2} = 8.8541878128(13)\times10^{-12}$ kg^-1m^-3s⁴A²

Gauss 単位系と SI 単位系の違い (要点)

• Coulomb の法則が変更され、係数がなくなる: \begin{equation} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0^\text{SI}} \frac{q_1^\text{SI} q_2^\text{SI}}{r^2} = F = \textcolor{red}{1\cdot}\frac{q_1^\text{Gauss} q_2^\text{Gauss}}{r^2} \end{equation}
• ${\bm E}$ と ${\bm B}$ の次元が同じになる。そのため、Lorentz 力の表式が変わる: \begin{equation} {\bm F} = q \left({\bm E} + \frac{\dot{\bm x}}{\textcolor{red}{c}}\times{\bm B}\right) \end{equation}
• (電荷の分極 ${\bm P}$ や、磁化 ${\bm M}$) が存在しない場合、${\bm D}$ と ${\bm E}$、${\bm B}$ と ${\bm H}$ は同じになる (この意味で、真空の誘電率・透磁率は 1 になっていると言える)。これに起因し、Maxwell 方程式が修正される。 \begin{gather} \text{div}\boldsymbol{D} = \textcolor{red}{4\pi}\rho \\ \textcolor{red}{c}\,\text{rot}\boldsymbol{H} - \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} = \textcolor{red}{4\pi}\boldsymbol{j} \\ \text{div}\boldsymbol{B} = 0 \\ \textcolor{red}{c}\,\text{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}= \boldsymbol{0} \end{gather}

Gauss 単位系と SI 単位系の違い (簡単な導出もどきの説明)

• Coulomb の法則の違いから、$q^\text{Gauss} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0^\text{SI}}} q^\text{SI}$ と変換される。
  • $\varepsilon_0^\text{SI}$ は C²N^-1m^-2 の次元を持っていたので、$q^\text{Gauss}$ は (CGS で) (dyn)^1/2cm = g^1/2cm^3/2s^-1 の単位を持つことになる。
  • これに数密度や速度をかけた、電荷密度・電流も同様の変換を受ける。
• ローレンツ力 \[ q^\text{SI} \left({\bm E}^\text{SI} + \dot{\bm x}\times{\bm B}^\text{SI}\right){\bm F} = q^\text{Gauss} \left({\bm E}^\text{Gauss} + \frac{\dot{\bm x}}{\textcolor{red}{c}}\times{\bm B}^\text{Gauss}\right) \] より、以下が分かる:
  • ${\bm E}^\text{Gauss} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0^\text{SI}} {\bm E}^\text{SI}$
    • これを空間積分した $\phi^\text{Gauss}$ も同様の変換を受ける。
  • ${\bm B}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{4\pi}{\mu_0^\text{SI}}} {\bm B}^\text{SI}$
    • これを空間積分した ${\bm A}^\text{Gauss}$ も同様の変換を受ける。
    • ただし、${\bm E}$ と ${\bm B}$ の次元を揃えたために、${\bm A}$ の ${\bm E}$ への影響が変化し、${\bm E}^\text{Gauss} = -{\bm\nabla}\phi^\text{Gauss} - \frac{1}{\textcolor{red}{c}}\frac{\partial\boldsymbol{A}^\text{Gauss}}{\partial t}$ となる。
• 電束密度 ${\bm D}$、磁束密度 ${\bm B}$ は (分極・磁化がなければ) ${\bm E}$, ${\bm H}$ に一致する。
  • ${\bm D}^\text{Gauss} = {\bm E}^\text{Gauss} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0^\text{SI}}{\bm E}^\text{SI} = \sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0^\text{SI}}}{\bm D}^\text{SI}$
  • ${\bm H}^\text{Gauss} = {\bm B}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{4\pi}{\mu_0^\text{SI}}}{\bm B}^\text{SI} = \sqrt{4\pi\mu_0^\text{SI}}{\bm H}^\text{SI}$
• (真空中の) Maxwell 方程式は、上記の変換式を用いて、以下のように修正される (1つめの式だけ途中式を記載。2つめ以降は略):
  • $\text{div}{\bm D}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0^\text{SI}}}\text{div}{\bm D}^\text{SI} = \sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0^\text{SI}}}\rho^\text{SI} = 4\pi\rho^\text{SI}$
  • $c\text{rot}{\bm H}^\text{Gauss} - \frac{\partial{\bm D}^\text{Gauss}}{\partial t} = 4\pi{\bm j}^\text{Gauss}$
  • $\text{div}{\bm B}^\text{Gauss} = 0$
  • $c\text{rot}{\bm E}^\text{Gauss} + \frac{\partial{\bm B}^\text{Gauss}}{\partial t} = 0$
• 分極は、電荷の偏りであるので、電荷と同じ変換を受けるはずであり、${\bm P}^\text{Gauss} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}{\bm P}^\text{SI}$ となる (これは誘電体の内部エネルギー密度の変化 ${\rm d}u = {\bm E}\cdot{\rm d}{\bm P}$ を考えても分かると思われる。つまり、${\bm E}$ と ${\bm P}$ は逆の変換を受ける)。
  • したがって、構成方程式は \[ {\bm D}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0^\text{SI}}}{\bm D}^\text{SI} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0^\text{SI}}{\bm E}^\text{SI} + \sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0^\text{SI}}}{\bm P}^\text{SI} = {\bm E}^\text{Gauss} + 4\pi{\bm P}^\text{Gauss} \] となる。
• 磁化についても、内部エネルギーの変化が ${\rm d}u = {\bm M}\cdot{\rm d}{\bm B}$ となるべきだと考えれば ${\bm M}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{\mu_0^\text{SI}}{4\pi}}{\bm M}^\text{SI}$ となる。
  • 構成方程式は \[ {\bm B}^\text{Gauss} = \sqrt{\frac{4\pi}{\mu_0^\text{SI}}}{\bm B}^\text{SI} = \sqrt{4\pi\mu_0^\text{SI}}{\bm H}^\text{SI} + \sqrt{4\pi\mu_0^\text{SI}}{\bm M}^\text{SI} = {\bm H}^\text{Gauss} + 4\pi{\bm M}^\text{Gauss} \]
• 電気抵抗は Ohm の法則より \[ R^\text{Gauss} = \frac{\phi^\text{Gauss}}{j^\text{Gauss}} = 4\pi\varepsilon_0R^\text{SI} \] となる (ここで、j は電流密度ではなく、電流だと思って下さい)。Inductance も同様。電気伝導度や電気容量は逆の変換となる。

Gauss 単位系と SI 単位系の間の変換表

Gauss 単位系での電磁気学

• Coulomb の法則: $F = \textcolor{red}{1\cdot}\frac{q_1q_2}{r^2}$
• Lorentz 力: $\boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \frac{\boldsymbol{v}}{\textcolor{red}{c}}\times\boldsymbol{B})$
• 荷電粒子のLagrangian: $L = \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^2 + q\frac{\boldsymbol{A}}{\textcolor{red}{c}}\cdot\dot{\boldsymbol{x}} - q\phi$
• 電磁ポテンシャル: \begin{align} \boldsymbol{E} &= -\text{grad}\phi - \frac{1}{\textcolor{red}{c}}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} \\ \boldsymbol{B} &= \text{rot}\boldsymbol{A} \end{align}
• Maxwell 方程式: \begin{gather} \text{div}\boldsymbol{D} = \textcolor{red}{4\pi}\rho \\ \textcolor{red}{c}\,\text{rot}\boldsymbol{H} - \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} = \textcolor{red}{4\pi}\boldsymbol{j} \\ \text{div}\boldsymbol{B} = 0 \\ \textcolor{red}{c}\,\text{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}= \boldsymbol{0} \end{gather}
• 構成方程式: \begin{align} \boldsymbol{D} &= \textcolor{red}{1\cdot}\boldsymbol{E} + \textcolor{red}{4\pi}\boldsymbol{P} \\ \boldsymbol{B} &= \textcolor{red}{1\cdot(}\boldsymbol{H}+\textcolor{red}{4\pi}\boldsymbol{M}\textcolor{red}{)} \end{align}
• 真空における光速: $c =2.99792458×10^8$ m/s
  • 真空の誘電率・透磁率は陽には出てこない定式化になっている。

Heaviside-Lorentz 単位系と SI 単位系の変換

Heaviside Lorentz 単位系での電磁気学

方程式系の単位系によらない一般形 (参考: Wikipedia)

• Coulomb の法則: $F = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$
• Lorentz 力: $\boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \gamma^{-1}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$
• 荷電粒子の Lagrangian: $L = \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^2 + q\gamma^{-1}\boldsymbol{A}\cdot\dot{\boldsymbol{x}}-q\phi$
• 電磁ポテンシャル: \begin{align} \boldsymbol{E} &= -\text{grad}\phi - \gamma^{-1}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t} \\ \boldsymbol{B} &= \text{rot}\boldsymbol{A} \end{align}
• Maxwell 方程式: \begin{gather} \text{div}\boldsymbol{D} = \lambda\rho \\ \gamma\text{rot}\boldsymbol{H} - \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} = \lambda\boldsymbol{j} \\ \text{div}\boldsymbol{B} = 0 \\ \gamma\text{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}= \boldsymbol{0} \end{gather}
• 構成方程式: \begin{align} \boldsymbol{D} &= \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \lambda\boldsymbol{P} \\ \boldsymbol{B} &= \mu_0(\boldsymbol{H} + \lambda\boldsymbol{M}) \end{align}